☛ Somme de vecteurs et parallélogramme : une propriété pas à pas

Propriété

Soit \(\text A\), \(\text B\), \(\text C\) et \(\text D\) quatre points du plan.
Alors \(\text{ABDC}\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}\).

Énoncé

Le but de cet exercice est de démontrer la propriété ci-dessus.

1. Démonstration du sens direct : supposons que \(\text{ABDC}\) est un parallélogramme.
    a. Déterminer un vecteur égal au vecteur \(\overrightarrow{\text{AC}}\).
    b. À l'aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur \(\overrightarrow{\text{AD}}\) puis conclure.

2. Démonstration du sens réciproque : supposons que  \(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}\).
    a. À l'aide de la relation de Chasles, montrer que \(\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}\).
    b. Conclure.

Solution

1. Soit \(\text A\), \(\text B\), \(\text C\) et \(\text D\) quatre points du plan tels que \(\text{ABDC}\) est un parallélogramme.
    a. Puisque \(\text{ABDC}\) est un parallélogramme, on a \(\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}\).
    b. D'après la relation de Chasles, on a \(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{AD}}\). Or, \(\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}\). Donc \(\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}}\)

2. Soit \(\text A\), \(\text B\), \(\text C\) et \(\text D\) quatre points du plan tels que \(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}\).
    a. D'après la relation de Chasles, on a \(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{AD}}\). Donc on a \(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}}\).
         Ainsi, on obtient \(\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}\).
    b. Puisque  \(\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}\), on peut conclure que le quadrilatère \(\text{ABDC}\) est un parallélogramme.